Вершинная форма квадратичной функции
Математика SAT — Алгебра и решение сложных задач
Ключевое уравнение: $y = a(x - h)^2 + k$, где вершина — это точка $(h, k)$
1. Введение — Что такое вершинная форма?
1.1 Определение
Вершинная форма — это особый способ записи квадратичной функции, который позволяет сразу увидеть вершину (точку поворота) прямо из уравнения:
$$y = a(x - h)^2 + k$$
- $a$ — определяет направление (вверх/вниз) и ширину параболы
- $h$ — координата $x$ вершины (горизонтальный сдвиг)
- $k$ — координата $y$ вершины (вертикальный сдвиг)
1.2 Почему вершинная форма важна на SAT
✅ Сразу показывает вершину
Никаких вычислений — просто читаем $(h, k)$.
✅ Легко строить график
Отмечаем вершину, затем используем $a$ для формы.
✅ Показывает преобразования
Сдвиги, растяжения и отражения от $y = x^2$.
1.3 Три формы квадратичной функции — Сравнение
| Форма | Уравнение | Что показывает напрямую |
|---|---|---|
| Стандартная форма | $y = ax^2 + bx + c$ | Точка пересечения с осью $y$: $(0, c)$ |
| Вершинная форма | $y = a(x - h)^2 + k$ | Вершина $(h, k)$ |
| Факторизованная форма | $y = a(x - r_1)(x - r_2)$ | Точки пересечения с осью $x$: $r_1, r_2$ |
Каждая форма имеет свои преимущества. На SAT часто просят переводить из одной формы в другую или считывать информацию из данной формы.
2. Структура вершинной формы — Параметры $a$, $h$, $k$
⚠️ ВАЖНАЯ ДЕТАЛЬ СО ЗНАКОМ (Самая частая ловушка на SAT!)
В уравнении используется $(x \mathbf{-} h)$, поэтому $h$ имеет ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ знак тому, что стоит внутри скобок.
- $(x - 3)^2$ → $h = +3$
- $(x + 4)^2 = (x - (-4))^2$ → $h = -4$
Примеры быстрого чтения
| Уравнение | $a$ | $h$ | $k$ | Вершина $(h,k)$ |
|---|---|---|---|---|
| $y = (x - 3)^2 + 5$ | $1$ | $3$ | $5$ | $(3, 5)$ |
| $y = (x + 4)^2 - 2$ | $1$ | $-4$ | $-2$ | $(-4, -2)$ |
| $y = 2(x - 1)^2 + 7$ | $2$ | $1$ | $7$ | $(1, 7)$ |
| $y = -(x + 5)^2 - 3$ | $-1$ | $-5$ | $-3$ | $(-5, -3)$ |
| $y = 3(x - 5)^2$ | $3$ | $5$ | $0$ | $(5, 0)$ |
| $y = x^2 + 3$ | $1$ | $0$ | $3$ | $(0, 3)$ |
| $y = -2(x + 1)^2 + 6$ | $-2$ | $-1$ | $6$ | $(-1, 6)$ |
Когда $h = 0$: $y = ax^2 + k$ — вершина на оси $y$ в точке $(0, k)$.
Когда $k = 0$: $y = a(x-h)^2$ — вершина на оси $x$ в точке $(h, 0)$.
Оба равны $0$: $y = ax^2$ — вершина в начале координат $(0, 0)$.