Системы уравнений — Метод подстановки
Значимость для SAT: Системы уравнений встречаются практически в каждом разделе математики SAT. Вы можете ожидать 2–4 задания, проверяющих ваше умение решать системы, и метод подстановки — один из самых быстрых подходов, когда одна переменная уже выражена или её легко выразить.
Что такое система уравнений?
Система уравнений — это набор из двух или более уравнений с одними и теми же переменными. Решение — это упорядоченная пара $(x, y)$, которая делает оба уравнения истинными одновременно.
Геометрически решение — это точка пересечения двух прямых.
Пример системы:
$$ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases} $$Наша цель — найти упорядоченную пару \((x, y)\), которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно.
Главная идея подстановки
Метод подстановки работает следующим образом:
- Выразите одну переменную из одного уравнения.
- Подставьте это выражение в другое уравнение.
- Решите полученное уравнение с одной переменной.
- Подставьте обратно, чтобы найти другую переменную.
💡 Совет для SAT: Используйте подстановку, когда в одном уравнении переменная уже выражена (например, $y = \ldots$ или $x = \ldots$). Это экономит драгоценное время!
Визуализация решения
На графике ниже показаны две прямые. Точка их пересечения — это решение системы. Посмотрите на координаты точки пересечения!
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке