📐 Уравнения I: Стратегии и методы решения
Освой все типы уравнений на SAT — от простых линейных до уравнений с модулем, радикалами и квадратных уравнений
Часть 1 — Основы
1.1 Что такое уравнение?
Уравнение — это математическое утверждение о том, что два выражения равны. Оно всегда содержит знак равенства = и обычно содержит одну или несколько переменных (неизвестных), значения которых мы хотим найти.
1.2 Что такое решение?
Решение — это любое значение переменной, при котором уравнение становится истинным утверждением. Когда ты подставляешь решение обратно, обе части равны.
- Уравнение может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.
- Пример: $3x + 5 = 20$ → $x = 5$, потому что $3(5)+5 = 20$ ✓
1.3 Равносильные уравнения
Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковое множество решений. Наша цель при решении — преобразовать уравнение во всё более простые равносильные формы, пока мы не получим $x = \text{число}$.
Оба уравнения имеют одно и то же решение: $x = 3$.
1.4 Золотое правило уравнений
Часть 2 — Инструменты для выделения переменных
Каждый метод решения уравнений сводится к одной идее: выделить переменную. Вот инструменты, которые ты будешь использовать.
| Инструмент | Что он делает | Пример |
|---|---|---|
| Свойство сложения / вычитания | Прибавить или вычесть одно и то же значение из обеих частей, чтобы убрать слагаемое | $x + 5 = 12 \;\Rightarrow\; x = 12 - 5 = 7$ |
| Свойство умножения / деления | Умножить или разделить обе части на одно и то же ненулевое значение, чтобы убрать коэффициент | $3x = 15 \;\Rightarrow\; x = \frac{15}{3} = 5$ |
| Обратные операции | Сложение ↔ Вычитание; Умножение ↔ Деление; Возведение в квадрат ↔ Извлечение корня | Используй обратную операцию, чтобы «отменить» то, что было сделано с $x$ |
| Обратный порядок действий | Отменяй операции в обратном порядке: сначала отмени +/−, затем ×/÷, затем степени | $2x + 3 = 11$: сначала отмени +3, затем отмени ×2 |
| Отрицательные коэффициенты | $-x = 7$ означает $x = -7$; умножь или раздели обе части на $-1$ | $-x = 7 \;\Rightarrow\; x = -7$ |
| Дробные коэффициенты | Умножь обе части на обратную дробь | $\frac{2}{3}x = 8 \;\Rightarrow\; x = 8 \times \frac{3}{2} = 12$ |
| Перекрёстное умножение | Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $ad = bc$ | $\frac{x}{4} = \frac{3}{5} \;\Rightarrow\; 5x = 12 \;\Rightarrow\; x = \frac{12}{5}$ |
| Избавление от дробей (НОЗ) | Умножь каждый член на НОЗ, чтобы убрать все дроби | $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$; НОЗ = 6 → $3x + 2x = 30$ |
| Избавление от десятичных дробей | Умножь на степень числа 10 | $0.3x + 1.5 = 2.7$ → умножь на 10: $3x + 15 = 27$ |
| Приведение подобных членов | Сначала упрости каждую часть | $3x + 2x + 5 = 20 \;\Rightarrow\; 5x + 5 = 20$ |
| Раскрытие скобок | Раскрой скобки перед решением | $3(x + 4) = 21 \;\Rightarrow\; 3x + 12 = 21$ |