Выражения: объединение, деление и разделение дробей
Освой все операции с дробями, которые проверяются в разделе математики SAT
1. Основы алгебраических дробей
Что такое алгебраическая дробь?
Алгебраическая дробь (также называемая рациональным выражением) — это дробь, содержащая переменные в числителе, знаменателе или в обоих.
Структура:
$$\frac{a}{b} = a \div b$$- Числитель $a$ — верхнее выражение
- Знаменатель $b$ — нижнее выражение
- Правило: $b \neq 0$ всегда!
Примеры алгебраических дробей:
| $\dfrac{x}{3}$ | Переменная только в числителе |
| $\dfrac{2x+1}{5}$ | Выражение в числителе |
| $\dfrac{x^2-1}{x+3}$ | Переменные в обоих |
Ограничения области определения
| Выражение | Ограничение | Почему? |
|---|---|---|
| $\dfrac{5}{x-3}$ | $x \neq 3$ | $x-3=0 \Rightarrow x=3$ |
| $\dfrac{1}{x^2-4}$ | $x \neq \pm 2$ | $(x-2)(x+2)=0$ |
| $\dfrac{x}{2x+1}$ | $x \neq -\frac{1}{2}$ | $2x+1=0$ |
Равносильные дроби
Умножь или раздели числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение:
$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)$$Пример: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{3 \cdot x}{x \cdot x} = \dfrac{3x}{x^2}$
2. Объединение дробей — сложение и вычитание
2A. Одинаковый знаменатель (простой случай)
Правило:
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$Знаменатель остаётся прежним. Складывай или вычитай числители.
Пример 1: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x} = \dfrac{3+5}{x} = \dfrac{8}{x}$
Пример 2: $\dfrac{2x}{x+1} + \dfrac{3}{x+1} = \dfrac{2x+3}{x+1}$
Осторожно при вычитании!
Распредели минус на ВСЕ слагаемые второго числителя:
$$\frac{5x-2}{x^2} - \frac{3x+1}{x^2} = \frac{(5x-2)-(3x+1)}{x^2}$$ $$= \frac{5x-2-3x-1}{x^2} = \frac{2x-3}{x^2}$$Типичная ловушка: написать $-3x+1$ вместо $-3x-1$
2B. Разные знаменатели — нахождение НОЗ
НОЗ (Наименьший Общий Знаменатель) — это наименьшее выражение, которое делится на ВСЕ знаменатели.
Шаги: ① Разложи каждый знаменатель на множители → ② Включи каждый множитель в наибольшей степени → ③ Перемножь их
$\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6}$
НОК чисел 4 и 6:
- $4 = 2^2$
- $6 = 2 \cdot 3$
- НОЗ $= 2^2 \cdot 3 = 12$
$= \dfrac{3x}{12} + \dfrac{2x}{12} = \dfrac{5x}{12}$
$\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x^2}$
Знаменатели: $x$ и $x^2$
- Наибольшая степень $x$ — это $x^2$
- НОЗ $= x^2$
$= \dfrac{3x}{x^2} + \dfrac{5}{x^2} = \dfrac{3x+5}{x^2}$
$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x-1}$
Общих множителей нет:
- НОЗ $= (x+1)(x-1)$
$= \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \dfrac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$= \dfrac{x-1+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{3x+1}{x^2-1}$
$\dfrac{1}{x^2-4} + \dfrac{1}{x+2}$
Шаг 1: Разложи: $x^2-4 = (x+2)(x-2)$
Шаг 2: НОЗ $= (x+2)(x-2)$
Шаг 3: Приведи к общему знаменателю:
$$= \frac{1}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x-2)}{(x+2)(x-2)}$$Шаг 4: Объедини:
$$= \frac{1 + x - 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-1}{x^2-4}$$$\dfrac{3}{x-2} - \dfrac{2}{x+3} + \dfrac{1}{(x-2)(x+3)}$
НОЗ $= (x-2)(x+3)$
$$= \frac{3(x+3) - 2(x-2) + 1}{(x-2)(x+3)}$$ $$= \frac{3x+9 - 2x+4 + 1}{(x-2)(x+3)}$$ $$= \frac{x+14}{(x-2)(x+3)}$$Блок-схема выбора НОЗ
Сложение целого числа и дроби
Преобразуй целое число в дробь с тем же знаменателем:
$$3 + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3x+2}{x}$$