Неравенства: Решение и построение графиков
Математика SAT — Полное руководство
Алгебра
Графики на числовой прямой
Координатная плоскость
Модуль и квадратичные неравенства
1. Введение в неравенства
Что такое неравенство?
Неравенство — это математическое утверждение, которое сравнивает два выражения с помощью знака неравенства. В отличие от уравнения (которое говорит, что две величины равны), неравенство говорит, что одна сторона больше, меньше или не равна другой.
| Символ | Значение | Пример | Читается как |
|---|---|---|---|
| < | Меньше | $x < 5$ | «x меньше 5» |
| > | Больше | $x > 3$ | «x больше 3» |
| ≤ | Меньше или равно | $x \le 5$ | «x меньше или равно 5» |
| ≥ | Больше или равно | $x \ge 3$ | «x больше или равно 3» |
| ≠ | Не равно | $x \ne 0$ | «x не равно 0» |
Ключевое отличие — Уравнение и Неравенство:
• $x = 5$ → ровно одно значение (5).
• $x < 5$ → бесконечно много значений (все действительные числа, меньшие 5).
Множество всех значений, при которых неравенство истинно, называется множеством решений.
• $x = 5$ → ровно одно значение (5).
• $x < 5$ → бесконечно много значений (все действительные числа, меньшие 5).
Множество всех значений, при которых неравенство истинно, называется множеством решений.
Совет по чтению
Всегда читайте от переменной к числу: $x < 5$ → «x меньше 5». Можно также читать справа налево: «5 больше x».
2. Свойства неравенств
Неравенства решаются почти так же, как уравнения — с одним важным исключением.
Направление НЕ меняется
- Сложение: Если $a < b$, то $a + c < b + c$
- Вычитание: Если $a < b$, то $a - c < b - c$
- Умножение на положительное: Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$
- Деление на положительное: Если $a < b$ и $c > 0$, то $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
Направление МЕНЯЕТСЯ ⚠️
- Умножение на отрицательное: Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac \;\mathbf{>}\; bc$
- Деление на отрицательное: Если $a < b$ и $c < 0$, то $\frac{a}{c} \;\mathbf{>}\; \frac{b}{c}$
ПРАВИЛО №1: Умножение или деление обеих частей на отрицательное число МЕНЯЕТ знак неравенства. Это самая частая причина ошибок на SAT!
Быстрое доказательство правила смены знака
Мы знаем, что $2 < 5$. Умножим обе части на $-1$: $-2$ и $-5$. На числовой прямой $-2$ находится правее $-5$, значит $-2 > -5$. Знак неравенства изменился! ✓