Методы нахождения корней квадратных уравнений
Освой каждый метод — и выбирай самый быстрый на экзамене.
Ключевая идея для SAT: Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ может иметь 0, 1 или 2 действительных корня. На SAT проверяют, можешь ли ты найти их быстро и точно.
1. Методы нахождения корней
1А. Метод разложения на множители
Если можно представить $ax^2 + bx + c$ в виде произведения двух линейных множителей, то приравнивание каждого множителя к нулю даёт корень.
$$ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s) = 0$$
$$\Rightarrow \quad x = -\frac{q}{p} \quad \text{или} \quad x = -\frac{s}{r}$$
Основные формулы разложения
Разность квадратов
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
Пример: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
Полный квадрат
$$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$$
Пример: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
Метод AC
Найди два числа, которые в произведении дают $ac$ и в сумме дают $b$.
Для $2x^2+7x+3$: $ac=6$, находим $1 \times 6 = 6$ и $1+6=7$ ✓
1Б. Метод извлечения квадратного корня
Когда уравнение имеет вид $x^2 = k$ или $(x - h)^2 = k$, извлеки квадратный корень из обеих частей. Не забудь ±!
$$(x - h)^2 = k \quad \Rightarrow \quad x - h = \pm\sqrt{k} \quad \Rightarrow \quad x = h \pm \sqrt{k}$$
1В. Выделение полного квадрата
Преобразуй $ax^2 + bx + c = 0$ к виду $a(x-h)^2 = k$, затем используй метод извлечения корня.
Шаги:
- Перенеси свободный член вправо: $ax^2 + bx = -c$
- Если $a \neq 1$, раздели всё на $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
- Прибавь $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ к обеим частям
- Разложи левую часть как полный квадрат
- Извлеки $\pm\sqrt{\phantom{x}}$ из обеих частей и реши
1Г. Формула квадратного уравнения
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Эта формула ВСЕГДА работает для любого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.