Выделение полного квадрата суммы и разности
Освойте важнейший приём алгебры, который встречается в каждом разделе математики SAT
1. Основа: формулы квадрата суммы и разности
Выделение полного квадрата основано на двух фундаментальных тождествах — квадрате суммы и квадрате разности.
Квадрат суммы
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Средний член положительный $+2ab$
Пример: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
Квадрат разности
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Средний член отрицательный $-2ab$
Пример: $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$
Почему «выделение» полного квадрата?
Когда у нас есть выражение вида $x^2 + 6x$, оно почти является полным квадратом трёхчлена — ему не хватает свободного члена. Мы «дополняем» его, определяя, какую константу нужно прибавить (и вычесть), чтобы выражение стало полным квадратом. Мы прибавляем и вычитаем одно и то же значение, поэтому выражение остаётся равным — итоговое изменение равно нулю.
Наглядно: геометрия $(a+b)^2$
Модель площади показывает, почему $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Большой квадрат со стороной $(a+b)$ разделён на четыре области:
