Парабола: Полное руководство для подготовки к SAT
Освойте все аспекты парабол — от вершинной формы до задач на оптимизацию
1. Что такое парабола?
Парабола — это U-образная кривая, которая является графиком квадратичной функции. Это симметричная кривая с особой точкой, называемой вершиной.
Квадратичная функция
Функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Это многочлен 2-й степени — наибольшая степень $x$ равна 2.
Почему параболы важны:
- Движение тела — траектория брошенного мяча
- Оптимизация — нахождение максимальной площади, выручки, прибыли
- Любимая тема SAT — встречается в 3–6 заданиях на каждом тесте
Основные элементы параболы
| Элемент | Описание | Как найти |
|---|---|---|
| Вершина | Точка поворота (наивысшая или наинизшая) | $(h, k)$ или $\left(-\frac{b}{2a},\; f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ |
| Ось симметрии | Вертикальная прямая через вершину | $x = h$ или $x = -\frac{b}{2a}$ |
| Направление | Открывается вверх или вниз | $a > 0$: вверх | $a < 0$: вниз |
| Точка пересечения с осью y | Где график пересекает ось y | $(0, c)$ |
| Точки пересечения с осью x | Где график пересекает ось x (корни/нули) | Подставить $y = 0$, решить |
| Область определения | Все возможные значения x | Всегда $(-\infty, \infty)$ |
| Область значений | Все возможные значения y | $[k, \infty)$ или $(-\infty, k]$ |
2. Три формы квадратных уравнений
Одну и ту же параболу можно записать в трёх различных формах. Каждая форма сразу раскрывает определённую информацию.
Стандартная форма
$y = ax^2 + bx + c$
Показывает: точку пересечения с осью y напрямую ($c$)
Лучше всего для: нахождения дискриминанта, использования формулы корней
Точка пересечения с осью y = $(0, 3)$
Вершинная форма
$y = a(x - h)^2 + k$
Показывает: вершину напрямую в точке $(h, k)$
Лучше всего для: построения графика, нахождения макс./мин.
Вершина = $(2, -1)$
Факторизованная форма
$y = a(x - r_1)(x - r_2)$
Показывает: точки пересечения с осью x напрямую ($r_1$ и $r_2$)
Лучше всего для: нахождения корней/нулей
Точки пересечения с осью x = $(1,0)$ и $(3,0)$
Одна парабола, три формы
$y = x^2 - 4x + 3 \;=\; (x-2)^2 - 1 \;=\; (x-1)(x-3)$
Все три описывают одну и ту же кривую!