Прямоугольные треугольники
Определение, критерии, теорема Пифагора и особые треугольники
Математика SAT — Геометрия
Совет для SAT: Задачи на прямоугольные треугольники встречаются почти в каждом SAT. Освой этот урок — и ты легко заработаешь дополнительные баллы.
1. Введение — Что такое прямоугольный треугольник?
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, который содержит ровно один угол, равный 90° (прямой угол).
Элементы прямоугольного треугольника
| Элемент | Описание |
|---|---|
| Катеты ($a$ и $b$) | Две стороны, которые образуют прямой угол |
| Гипотенуза ($c$) | Сторона, противолежащая прямому углу — всегда самая длинная сторона |
| Символ прямого угла | Маленький квадратик в углу обозначает угол 90° |
Ключевые факты
- Два острых угла являются дополнительными — их сумма равна 90°.
- Гипотенуза всегда противолежит наибольшему углу (90°), поэтому она всегда является самой длинной стороной.
Почему прямоугольные треугольники важны на SAT:
• Основа тригонометрии (SOH CAH TOA)
• Встречаются в задачах на расстояние, площадь, диагональ, лестницу, тень
• Два особых прямоугольных треугольника (45-45-90 и 30-60-90) даны в справочном листе SAT — но запоминание экономит время!
• Основа тригонометрии (SOH CAH TOA)
• Встречаются в задачах на расстояние, площадь, диагональ, лестницу, тень
• Два особых прямоугольных треугольника (45-45-90 и 30-60-90) даны в справочном листе SAT — но запоминание экономит время!
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Интерактивная диаграмма — маленький зелёный квадратик обозначает угол 90°.
2. Теорема Пифагора
$$a^2 + b^2 = c^2$$
где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
Нахождение гипотенузы
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Нахождение катета
$$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$$
⚠️ Частая ошибка: Гипотенуза $c$ должна быть одна на одной стороне уравнения. Никогда не ставьте гипотенузу под сложение — это $a^2+b^2=c^2$, а не $a^2+c^2=b^2$.
Разобранные примеры
| Дано | Найти | Решение |
|---|---|---|
| Катеты 3, 4 | Гипотенузу | $c=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ |
| Катеты 5, 12 | Гипотенузу | $c=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ |
| Катеты 8, 15 | Гипотенузу | $c=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ |
| Катет 6, гип. 10 | Другой катет | $a=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ |
| Катет 9, гип. 15 | Другой катет | $a=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$ |
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Прямоугольный треугольник 5-12-13
Обратная теорема Пифагора
Если стороны треугольника удовлетворяют условию $a^2+b^2=c^2$ (где $c$ — наибольшая сторона), то треугольник является прямоугольным.
| Проверка | Результат | Тип треугольника |
|---|---|---|
| $a^2+b^2 = c^2$ | Равны | Прямоугольный |
| $a^2+b^2 > c^2$ | Сумма больше | Остроугольный |
| $a^2+b^2 < c^2$ | Сумма меньше | Тупоугольный |
Пример: Стороны 6, 8, 10 → $36+64=100=10^2$ ✓ → Прямоугольный треугольник
Пример: Стороны 5, 6, 8 → $25+36=61 \neq 64=8^2$ → Не прямоугольный треугольник (и $61<64$ → тупоугольный)
Пример: Стороны 7, 8, 10 → $49+64=113>100$ → Остроугольный треугольник