Окружности: центральные и вписанные углы
Освойте все соотношения между углами и дугами, которые проверяются на экзамене SAT по математике
Геометрия SAT • Теоремы об окружностях • Соотношения углов и дуг
1. Введение и основные термины
Основные определения
| Термин | Определение |
|---|---|
| Центральный угол | Угол, вершина которого находится в центре окружности; его стороны — радиусы. |
| Вписанный угол | Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами. |
| Стягиваемая дуга | Дуга, которая лежит внутри угла и имеет концы на сторонах угла. |
| Градусная мера дуги | Измеряется в градусах; равна центральному углу, который её стягивает. |
| Полуокружность | Дуга в 180°; половина окружности, отсечённая диаметром. |
| Вписанный четырёхугольник | Четырёхугольник, все четыре вершины которого лежат на окружности. |
Почему эти углы важны
- Они составляют основу всех задач на углы в окружности на SAT.
- Понимание связи между углом и стягиваемой дугой позволяет быстро решать задачи.
- Многие задачи SAT сочетают эти темы с алгеброй — составлением уравнений с $x$.
- Если вы видите вписанный угол 90°, это сразу говорит о наличии диаметра.
Совет для SAT: Почти каждая задача на углы в окружности на SAT сводится к одной идее: где находится вершина? Это определяет, какую формулу использовать.
Интерактив: центральный угол и вписанный угол
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перетаскивайте точку P по окружности. Обратите внимание: вписанный угол всегда равен половине центрального угла!
2. Центральные углы
Определение и основное правило
Центральный угол образован двумя радиусами, и его вершина находится в центре окружности.
$$\text{Центральный угол} = \text{Стягиваемая дуга}$$
Ключевые факты
- Центральный угол $60°$ стягивает дугу $60°$.
- Центральный угол $90°$ стягивает дугу $90°$ (четверть окружности).
- Центральный угол $120°$ стягивает дугу $120°$.
- Центральный угол $180°$ стягивает полуокружность.
- Полный оборот: центральный угол $360°$ = полная окружность.
- Все центральные углы вокруг центра в сумме дают $360°$.
- В одной окружности равные центральные углы стягивают равные дуги.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Четверть окружности
$90° \to 90°$ дуга
Полуокружность
$180° \to 180°$ дуга
Полная окружность
$360° \to 360°$ дуга