Уравнения окружности
Математика SAT — Геометрия и координатная геометрия
Стандартная форма
Общая форма
Выделение полного квадрата
Касательные
1. Введение — Что такое окружность?
Определение
Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки, называемой центром.
| Термин | Значение | Обозначение |
|---|---|---|
| Центр | Фиксированная точка | $(h, k)$ |
| Радиус | Постоянное расстояние от центра до любой точки на окружности | $r$ |
| Диаметр | Удвоенный радиус; наибольшая хорда | $d = 2r$ |
| Стандартная форма | $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ | Каноническая форма |
| Общая форма | $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ | Развёрнутая форма |
Почему уравнения окружности важны на SAT: Они связывают геометрию с алгеброй и встречаются в задачах по координатной геометрии. Вы должны уметь определять центр/радиус, преобразовывать между формами и решать задачи на пересечение.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перетащите точку P по окружности — расстояние до центра остаётся постоянным.
2. Стандартная форма (каноническая форма)
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$
Центр: $(h, k)$ | Радиус: $r = \sqrt{r^2}$
Важное правило знаков
- $(x - 3)^2$ означает $h = +3$ (вычитаем положительное → координата центра положительная)
- $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ означает $h = -3$ (прибавляем → координата центра отрицательная)
- То же правило применяется к $k$ в слагаемом с $y$.
Разобранные примеры — Определение центра и радиуса
| № | Уравнение | Центр $(h,k)$ | $r^2$ | Радиус $r$ |
|---|---|---|---|---|
| 11 | $(x-3)^2+(y-5)^2=16$ | $(3,\,5)$ | 16 | $\sqrt{16}=4$ |
| 12 | $(x+2)^2+(y-4)^2=25$ | $(-2,\,4)$ | 25 | $\sqrt{25}=5$ |
| 13 | $(x-7)^2+(y+1)^2=49$ | $(7,\,-1)$ | 49 | $\sqrt{49}=7$ |
| 14 | $(x+5)^2+(y+3)^2=36$ | $(-5,\,-3)$ | 36 | $\sqrt{36}=6$ |
| 15 | $x^2+y^2=9$ | $(0,\,0)$ | 9 | $\sqrt{9}=3$ |
| 16 | $(x-1)^2+y^2=100$ | $(1,\,0)$ | 100 | $\sqrt{100}=10$ |
| 17 | $x^2+(y-6)^2=144$ | $(0,\,6)$ | 144 | $\sqrt{144}=12$ |
| 18 | $(x-2)^2+(y-3)^2=20$ | $(2,\,3)$ | 20 | $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ |
🚫 Типичная ошибка №150
Забывают извлечь квадратный корень. Если в уравнении стоит $= 16$, то радиус равен $\sqrt{16} = 4$, а не 16.