Тригонометрические тождества
Математика SAT — Полное руководство
Категория: Тригонометрия • Тест SAT
1 — Введение: Что такое тригонометрические тождества?
Что такое тождество?
Тождество — это равенство, которое истинно для всех значений переменной, при которых обе части определены. Сравните:
| Тип | Пример | Истинно для… |
|---|---|---|
| Тождество | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | Всех $\theta$ |
| Уравнение | $\sin\theta = \tfrac{1}{2}$ | Только определённых $\theta$ |
Почему тождества важны на SAT
- Упрощение сложных выражений до более простых.
- Решение тригонометрических уравнений путём приведения к одной функции.
- Нахождение точных значений нестандартных углов (например, $75°$).
- Проверка эквивалентности двух выражений.
Проверка ≠ Решение. Когда вы проверяете тождество, вы показываете, что обе части всегда равны. Когда вы решаете уравнение, вы находите конкретные углы. На SAT большинство заданий просят упростить или найти значение — а не писать формальное доказательство.
Обзор стратегии
- Выберите более сложную сторону.
- Преобразуйте всё к $\sin$ и $\cos$.
- Используйте тождества Пифагора / обратные / частные тождества для упрощения.
- Разложите на множители, приведите дроби к общему знаменателю или умножьте на сопряжённое выражение при необходимости.
- Получите другую сторону.
Единичная окружность — основа всех тождеств
Каждая точка на единичной окружности — это $(\cos\theta,\,\sin\theta)$, и $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ следует непосредственно из $x^2+y^2=1$.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перетащите ползунок, чтобы изменить $\theta$. Обратите внимание, что $\sin^2\theta+\cos^2\theta$ всегда равно 1.