Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
Геометрия — 7 класс
📐 1. Введение: От расстояния между точками к расстоянию от точки до прямой
Вы уже знаете самое основное понятие расстояния в геометрии:
Определение: Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего эти две точки.
Например, расстояние между точками $A$ и $B$ — это длина отрезка $AB$.
Но что если мы хотим измерить расстояние от точки до целой прямой? На прямой бесконечно много точек — до какой из них измерять? На этот вопрос мы ответим в данном уроке.
Ключевая идея — это перпендикуляр. Давайте разберёмся, почему.
📏 2. Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр из точки к прямой
Определение: Пусть точка $A$ не лежит на прямой $a$. Отрезок $AH$, где $H$ — точка на прямой $a$ такая, что $AH \perp a$, называется перпендикуляром из точки $A$ к прямой $a$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
Наклонная
Определение: Отрезок $AM$, где $M$ — любая точка на прямой $a$, отличная от $H$ (то есть $M \neq H$), называется наклонной из точки $A$ к прямой $a$.
Проекция наклонной
Определение: Отрезок $HM$ на прямой $a$ — от основания перпендикуляра $H$ до основания наклонной $M$ — называется проекцией наклонной $AM$ на прямую $a$.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
🔺 Связь с прямоугольным треугольником
Посмотрите на треугольник $AHM$. Так как $AH \perp a$, угол при вершине $H$ равен $90°$. Значит, треугольник $AHM$ — прямоугольный, где:
- $AH$ — катет
- $HM$ — другой катет
- $AM$ — гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу)
Ключевое свойство: В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее любого катета. Следовательно:
$$AH < AM$$
Перпендикуляр $AH$ короче наклонной $AM$.