Вписанная и описанная окружности треугольника
Главная идея: У каждого треугольника есть две особые окружности — одна идеально вписывается внутрь треугольника (вписанная окружность), а другая проходит через все три вершины (описанная окружность). Изучение этих окружностей раскрывает глубокие связи между сторонами, углами и площадью треугольника.
📐 Вписанная окружность (инокружность)
Определение
Вписанная окружность (или инокружность) треугольника — это наибольшая окружность, которая целиком помещается внутри треугольника. Она касается (только соприкасается) всех трёх сторон треугольника.
Основные свойства
- Центр вписанной окружности называется инцентром и обозначается $I$.
- Инцентр — это точка пересечения всех трёх биссектрис углов треугольника.
- Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикулярное расстояние от инцентра до любой стороны.
- Инцентр всегда находится внутри треугольника, независимо от его типа.
Формула для радиуса вписанной окружности
Если площадь треугольника равна $A$, а полупериметр $s = \frac{a + b + c}{2}$, то:
$$r = \frac{A}{s}$$
🔵 Описанная окружность (циркумокружность)
Определение
Описанная окружность (или циркумокружность) треугольника — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника.
Основные свойства
- Центр описанной окружности называется циркумцентром и обозначается $O$.
- Циркумцентр — это точка пересечения всех трёх серединных перпендикуляров к сторонам.
- Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от циркумцентра до любой вершины.
- Циркумцентр может находиться внутри треугольника (остроугольный △), на гипотенузе (прямоугольный △) или снаружи (тупоугольный △).
Формула для радиуса описанной окружности
Если стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$, а площадь равна $A$, то:
$$R = \frac{abc}{4A}$$