Фигуры, симметричные относительно прямой
Что такое осевая симметрия?
Фигура обладает осевой симметрией (также называемой зеркальной симметрией или двусторонней симметрией), если существует прямая, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Эта прямая называется осью симметрии.
Формальное определение
Две точки $A$ и $A'$ симметричны относительно прямой $\ell$, если:
- Прямая $\ell$ является серединным перпендикуляром отрезка $\overline{AA'}$.
Это означает, что должны выполняться два условия:
- Прямая $\ell$ перпендикулярна отрезку $\overline{AA'}$: $\ell \perp \overline{AA'}$
- Прямая $\ell$ проходит через середину $M$ отрезка $\overline{AA'}$, то есть $AM = MA'$
Фигура симметрична относительно прямой $\ell$, если для каждой точки $P$, принадлежащей фигуре, её зеркальное отражение $P'$ (относительно $\ell$) также принадлежит фигуре.
Основные свойства
- Сохранение расстояний: Если $A$ отображается в $A'$, а $B$ — в $B'$, то $AB = A'B'$.
- Сохранение углов: Углы сохраняются при отражении. Если $\angle ABC = \theta$, то $\angle A'B'C' = \theta$.
- Точки на оси: Любая точка, лежащая на оси симметрии $\ell$, отображается сама в себя.
- Изменение ориентации: Отражение меняет ориентацию на противоположную (по часовой стрелке ↔ против часовой стрелки).
- Самообратность: Двойное отражение относительно одной и той же прямой возвращает каждую точку в исходное положение.