Тождества
Что такое тождество?
Тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных, а не только при некоторых.
Тождество
a + b = b + a
Это равенство верно для ЛЮБЫХ значений a и b:
- a = 2, b = 3: 2 + 3 = 3 + 2 ✓
- a = -5, b = 10: -5 + 10 = 10 + (-5) ✓
- a = 0, b = 0: 0 + 0 = 0 + 0 ✓
- a = 100, b = -100: работает! ✓
Тождество не имеет "решений" — оно всегда работает!
Уравнение
x + 3 = 7
Это равенство верно только при x = 4:
- x = 4: 4 + 3 = 7 ✓
- x = 5: 5 + 3 = 8 ≠ 7 ✗
- x = 0: 0 + 3 = 3 ≠ 7 ✗
- x = -1: -1 + 3 = 2 ≠ 7 ✗
Уравнение имеет конкретные решения!
Примеры тождеств
✓ Это тождества:
| Тождество | Название |
|---|---|
| a + b = b + a | Переместительное (коммутативное) |
| (a + b) + c = a + (b + c) | Сочетательное (ассоциативное) |
| a · 1 = a | Умножение на единицу |
| a + 0 = a | Прибавление нуля |
| a · 0 = 0 | Умножение на ноль |
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | Квадрат суммы |
✗ Это НЕ тождества:
| Равенство | Почему не тождество |
|---|---|
| a + b = 5 | Верно только для некоторых a, b |
| x² = 4 | Верно только при x = ±2 |
| 2x = x | Верно только при x = 0 |
| a + a = a | Верно только при a = 0 |
| x² = x | Верно только при x = 0 или x = 1 |
Допустимые значения переменных
Важно!
Допустимые значения — это значения, при которых выражение имеет смысл (определено).
Тождество должно выполняться для всех допустимых значений!
Пример: a/a = 1
Это тождество, но только при a ≠ 0
- a = 5: 5/5 = 1 ✓
- a = -3: -3/(-3) = 1 ✓
- a = 0: 0/0 — не определено!
Допустимые значения: все числа, кроме 0
Пример: √(x²) = |x|
Это тождество для всех действительных x
- x = 3: √9 = 3 = |3| ✓
- x = -3: √9 = 3 = |-3| ✓
- x = 0: √0 = 0 = |0| ✓
Допустимые значения: все действительные числа