Куб суммы и куб разности
Возведение суммы и разности в куб
Формулы сокращённого умножения
7 класс · Алгебра1. Введение
Вы уже знаете формулы сокращённого умножения для возведения двучленов в квадрат:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Теперь мы идём дальше — возводим двучлены в третью степень (в куб):
(a + b)³ = ? (a − b)³ = ?
Эти формулы называются куб суммы и куб разности. Каждая формула даёт четыре слагаемых (а не три, как формулы квадратов).
2. Вывод формулы куба суммы
Начнём с определения возведения в куб:
(a + b)³ = (a + b)² · (a + b)
Шаг 1: Используем формулу квадрата суммы для раскрытия (a + b)²:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Шаг 2: Умножаем на (a + b):
(a² + 2ab + b²) · (a + b)
= a² · a + a² · b + 2ab · a + 2ab · b + b² · a + b² · b
= a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
= a² · a + a² · b + 2ab · a + 2ab · b + b² · a + b² · b
= a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
Шаг 3: Приводим подобные слагаемые:
a³ + (1 + 2)a²b + (2 + 1)ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³