Разложение разности n-х степеней на множители
Разность и сумма n-х степеней
От знакомых формул к мощной общей закономерности
§1. Повторение известных формул
Вы уже знаете две важные формулы разложения на множители. Запишем их рядом и поищем закономерность:
Разность квадратов (n = 2)
a² − b² = (a − b)(a + b)
Второй множитель содержит 2 слагаемых
Разность кубов (n = 3)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Второй множитель содержит 3 слагаемых
🔍 Ключевое наблюдение: В обоих случаях первый множитель — это (a − b). Второй множитель содержит столько слагаемых, каков показатель степени n. Можно ли обобщить это на любую степень n?
§2. Выявляем закономерность: n = 4
Разложим на множители a⁴ − b⁴. Есть два подхода:
Способ 1: Повторное применение разности квадратов
a⁴ − b⁴ = (a²)² − (b²)²
= (a² − b²)(a² + b²)
= (a − b)(a + b)(a² + b²)
Способ 2: Общая формула
a⁴ − b⁴ = (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³)
Второй множитель содержит 4 слагаемых
Степени a: 3, 2, 1, 0
Степени b: 0, 1, 2, 3
✅ Оба способа верны! Способ 2 следует выявленной закономерности. Заметим, что (a + b)(a² + b²) = a³ + a²b + ab² + b³, поэтому результаты совпадают.