Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Геометрия 7 класса — Три замечательных отрезка и их удивительные свойства
Введение
Каждый треугольник, независимо от его формы и размера, содержит три особых типа отрезков:
3 медианы
Вершина → Середина противоположной стороны
3 биссектрисы
Делит угол при каждой вершине пополам
3 высоты
Вершина → Перпендикуляр к противоположной стороне
Каждый тип соединяет вершину с противоположной стороной определённым способом. Эти отрезки раскрывают глубокие свойства треугольников: их точки пересечения являются важными замечательными точками треугольника, которые используются в построениях, доказательствах и практических приложениях. Они составляют основу для углублённого изучения геометрии.
Часть 1: Медианы треугольника
Определение: Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Каждый треугольник имеет ровно три медианы.
Медиана из вершины $A$ к середине $M$ стороны $\overline{BC}$ обозначается $\overline{AM}$ или $m_a$.
Основные свойства медиан
- Делит противоположную сторону на две равные части (это и есть середина!).
- НЕ обязательно делит угол при вершине пополам.
- Все три медианы лежат целиком внутри треугольника.
- Медиана делит треугольник на два меньших треугольника равной площади (одинаковое основание, одинаковая высота).
Центроид (G)
Центроид: Точка пересечения всех трёх медиан. Обозначается G.
✅ Все три медианы всегда пересекаются в одной точке — это замечательная теорема!
✅ Центроид всегда находится внутри треугольника (остроугольного, прямоугольного или тупоугольного).
✅ Центроид — это центр масс (точка равновесия) треугольника.
⭐ Правило 2:1
Центроид делит каждую медиану в отношении $\mathbf{2:1}$, считая от вершины:
$$\frac{AG}{GM} = \frac{2}{1}$$
Центроид находится вдвое дальше от вершины, чем от середины противоположной стороны.
📐 Координаты центроида
Если вершины — $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$, то:
$$G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$$
Центроид — это среднее арифметическое координат всех трёх вершин!
📏 Формула длины медианы
Длина медианы из вершины $A$ к стороне $\overline{BC}$ (длиной $a$):
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$
Интерактив: Медианы и центроид
Перетаскивайте вершины A, B, C, чтобы увидеть, как меняются медианы и центроид. Обратите внимание: G всегда остаётся внутри!