Свойства делимости
📌 Основное определение
Целое число $a$ делится на целое число $b$ (где $b \neq 0$), если существует целое число $k$ такое, что:
$a = b \cdot k$
Мы записываем это как $b \mid a$ (читается: «$b$ делит $a$»). Если $b$ не делит $a$, мы пишем $b \nmid a$.
🔑 Четыре основных свойства
Каждое ненулевое число $a$ делится на само себя.
Почему? Потому что $a = a \cdot 1$, а $k = 1$ — целое число.
Примеры:
$7 = 7 \times 1 \Rightarrow 7 \mid 7$ ✅
$-5 = (-5) \times 1 \Rightarrow -5 \mid -5$ ✅
Ноль делится на любое ненулевое число $b$.
Почему? Потому что $0 = b \cdot 0$, а $k = 0$ — целое число.
Примеры:
$0 = 3 \times 0 \Rightarrow 3 \mid 0$ ✅
$0 = (-8) \times 0 \Rightarrow -8 \mid 0$ ✅
Если $b \mid a$ и $c \mid b$, то $c \mid a$.
Почему? Если $a = b \cdot k_1$ и $b = c \cdot k_2$, тогда:
$a = (c \cdot k_2) \cdot k_1 = c \cdot (k_1 \cdot k_2)$
Поскольку $k_1 \cdot k_2$ — целое число, $c \mid a$.
Пример:
$3 \mid 6$ и $6 \mid 24 \Rightarrow 3 \mid 24$ ✅
Если $b \mid a$ и $a \mid b$, то $a = b$ или $a = -b$.
Почему? Если $a = b \cdot k_1$ и $b = a \cdot k_2$, тогда:
$a = (a \cdot k_2) \cdot k_1 = a \cdot k_1 k_2$
Значит $k_1 k_2 = 1$, то есть $k_1 = k_2 = 1$ или $k_1 = k_2 = -1$.
Пример:
$3 \mid (-3)$ и $(-3) \mid 3 \Rightarrow$ они противоположны ✅