Центральная симметрия (Симметрия относительно точки)
Главная идея: Центральная симметрия — это преобразование, которое отображает каждую точку фигуры в другую точку через фиксированный центр, создавая «зеркальное отражение», повёрнутое на $180°$.
📐 Формальное определение
Точка $A'$ является симметричным образом точки $A$ относительно центра $O$ тогда и только тогда, когда:
- $O$ является серединой отрезка $[AA']$
- Это означает: $\overrightarrow{OA'} = -\overrightarrow{OA}$
Иначе говоря, центр $O$ делит $AA'$ так, что:
$$OA = OA' \quad \text{и} \quad A, O, A' \text{ коллинеарны}$$🔑 Основные свойства центральной симметрии
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Изометрия | Центральная симметрия сохраняет расстояния: если $A \to A'$ и $B \to B'$, то $A'B' = AB$ |
| Сохраняет углы | Все углы сохраняются в образе фигуры |
| Прямые → Прямые | Образ прямой — это прямая, параллельная исходной (или та же прямая, если она проходит через $O$) |
| Отрезки → Отрезки | Образ отрезка — это отрезок равной длины |
| Неподвижная точка | Центр $O$ — единственная неподвижная точка: $O$ отображается в себя |
| Инволюция | Двукратное применение центральной симметрии возвращает каждую точку в исходное положение |
📊 Формула в координатах
Если центр симметрии — точка $O(a, b)$, то образ любой точки $M(x, y)$ равен:
$$M'(x', y') = (2a - x, \; 2b - y)$$Частный случай: Когда центр — начало координат $O(0,0)$:
$$M'(x', y') = (-x, \; -y)$$Это эквивалентно повороту на $180°$ вокруг точки $O$.
💡 Запомни!
Центральная симметрия — это то же самое, что поворот на $180°$ вокруг центральной точки.
Не путай её с:
- Осевой симметрией (отражение относительно прямой)
- Параллельным переносом (сдвиг без поворота)
🌍 Примеры из жизни
- Игральные карты (Король, Дама)
- Буквы S, N, Z
- Параллелограмм имеет центральную симметрию относительно точки пересечения диагоналей
- Символ Инь-Ян (приблизительно)