Вписанная окружность треугольника
📐 Что такое вписанная окружность?
Вписанная окружность — это наибольшая окружность, которая полностью помещается внутри треугольника и касается всех трёх сторон.
Вписанная окружность является касательной к каждой стороне треугольника, то есть она соприкасается с каждой стороной ровно в одной точке. Центр вписанной окружности называется инцентром (точкой пересечения биссектрис).
🎯 Основные определения
| Термин | Определение |
|---|---|
| Вписанная окружность | Окружность, вписанная в треугольник, которая касается всех трёх сторон |
| Инцентр | Центр вписанной окружности; точка, в которой пересекаются все три биссектрисы углов |
| Радиус вписанной окружности ($r$) | Радиус вписанной окружности |
| Биссектриса угла | Луч, который делит угол на две равные части |
| Полупериметр ($s$) | Половина периметра треугольника: $s = \frac{a + b + c}{2}$ |
⭐ Главная идея: биссектрисы углов
Инцентр находится в точке пересечения трёх биссектрис углов треугольника. Это замечательный факт:
Теорема: Три биссектрисы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке (инцентре), и эта точка равноудалена от всех трёх сторон треугольника.
Поскольку инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех трёх сторон, это расстояние и является радиусом вписанной окружности.
📏 Формулы для вписанной окружности
Формула 1: Радиус через площадь и полупериметр
$$r = \frac{A}{s}$$
где $A$ — площадь треугольника, а $s = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр
Формула 2: Площадь через радиус вписанной окружности
$$A = r \cdot s$$
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр