Квадратный корень из произведения, частного и степени
Почему это важно
Квадратные корни встречаются повсюду в математике — от теоремы Пифагора до квадратных уравнений. Чтобы упрощать сложные выражения с квадратными корнями, нам нужны важные свойства, которые позволяют разделять (или объединять) корни из произведений, частных и степеней. В этом уроке мы докажем три основные теоремы и научимся уверенно их применять.
Теорема 1: Квадратный корень из произведения
Доказательство:
Нам нужно показать, что $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ является квадратным корнем из $ ab $. По определению, $ \sqrt{ab} $ — это единственное неотрицательное число, квадрат которого равен $ ab $.
Шаг 1: Проверим, что $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0 $.
Так как $ a \geq 0 $ и $ b \geq 0 $, то $ \sqrt{a} \geq 0 $ и $ \sqrt{b} \geq 0 $, поэтому их произведение $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0 $. ✓
Шаг 2: Проверим, что $ \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\right)^2 = ab $.
$$ \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \cdot b = ab \quad ✓ $$
Заключение: Так как $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ неотрицательно и его квадрат равен $ ab $, то по определению квадратного корня $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $. Ч.Т.Д.
Обобщение на три и более множителей:
Свойство естественным образом обобщается. Для $ a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0 $:
$$ \sqrt{abc} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $$Почему? Применим Теорему 1 дважды: