Упрощение выражений со степенями
Что такое степени?
Показатель степени указывает, сколько раз нужно умножить основание на само себя. В выражении $a^n$ число $a$ — это основание, а $n$ — показатель степени.
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ раз}}$$
📜 Законы степеней
Для упрощения выражений со степенями мы используем набор важных правил. Освой их — и ты сможешь упростить практически любое выражение!
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
Пример: $x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
Пример: $\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5$
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Пример: $(z^4)^3 = z^{4 \cdot 3} = z^{12}$
$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$
Показатель степени распределяется на каждый множитель в скобках.
Пример: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
Показатель степени распределяется на числитель и знаменатель.
Пример: $\left(\frac{x}{4}\right)^3 = \frac{x^3}{64}$
$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Примеры: $5^0 = 1$ и $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$