Свойства степеней с целыми показателями
Главная идея: Степени — это сокращённая запись многократного умножения. Когда мы расширяем показатели степени на все целые числа (положительные, отрицательные и ноль), возникает красивый набор согласованных правил, который позволяет элегантно и эффективно работать с очень большими и очень маленькими числами.
Основа: Что такое целый показатель степени?
Для любого ненулевого числа $a$ и натурального числа $n$:
$$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ множителей}} $$
Но что происходит, когда показатель равен нулю или отрицательному числу? Мы определяем:
Нулевой показатель
$a^0 = 1$
(при $a \neq 0$)
Пример: $5^0 = 1$, $(-3)^0 = 1$
Отрицательный показатель
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
(при $a \neq 0$)
Пример: $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$