Растяжение и сжатие графиков функций
Главная идея: Когда мы умножаем функцию на константу или умножаем аргумент на константу, мы можем растянуть или сжать её график по вертикали или по горизонтали. Это один из самых мощных инструментов для понимания поведения функций!
🔼 Вертикальное растяжение и сжатие
Начиная с исходной функции $f(x)$, преобразование:
$$g(x) = a \cdot f(x)$$
- Если $|a| > 1$: График вертикально растягивается (удаляется от оси x). Каждое значение y умножается на $a$, и график становится выше.
- Если $0 < |a| < 1$: График вертикально сжимается (прижимается к оси x). Каждое значение y умножается на $a$, и график становится ниже.
- Если $a < 0$: График также отражается относительно оси x в дополнение к растяжению/сжатию.
Ключевое наблюдение: Вертикальные преобразования влияют на выходные значения (значения y). Точки на оси x ($y = 0$) не перемещаются!
↔️ Горизонтальное растяжение и сжатие
Начиная с исходной функции $f(x)$, преобразование:
$$g(x) = f(b \cdot x)$$
- Если $|b| > 1$: График горизонтально сжимается (сжимается к оси y). Это неочевидно — чем больше $b$, тем уже график!
- Если $0 < |b| < 1$: График горизонтально растягивается (удаляется от оси y). Чем меньше $b$, тем шире график!
- Если $b < 0$: График также отражается относительно оси y в дополнение к растяжению/сжатию.
Ключевое наблюдение: Горизонтальные преобразования влияют на входные значения (значения x). Точки на оси y ($x = 0$) не перемещаются! Горизонтальный коэффициент масштабирования равен $\frac{1}{|b|}$.