Геометрия преобразований и симметрия
Геометрия преобразований — это изучение того, как фигуры могут быть перемещены, отражены, повернуты или изменены в размере при сохранении определенных свойств. Эти движения называются преобразованиями, и они помогают нам понять взаимосвязи между различными геометрическими фигурами.
Четыре основных преобразования
- Параллельный перенос (Сдвиг): Перемещение фигуры по прямой линии без поворота, отражения или изменения её размера или формы. Каждая точка фигуры перемещается на одинаковое расстояние и в одном направлении.
- Поворот (Вращение): Поворот фигуры вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота. Фигура сохраняет свой размер и форму.
- Отражение (Зеркальное отображение): Создание зеркального изображения фигуры относительно прямой, называемой осью отражения. Исходная фигура и её отражение находятся на одинаковом расстоянии от прямой, но по разные стороны от неё.
- Гомотетия (Изменение размера): Увеличение или уменьшение фигуры с коэффициентом масштабирования от фиксированной точки, называемой центром гомотетии. Фигура изменяется в размере, но сохраняет свою форму и пропорции.
Координатная запись
При работе с преобразованиями на координатной плоскости мы можем описать их, используя специальную запись:
- Параллельный перенос: (x, y) → (x + h, y + k), где h — горизонтальный сдвиг, а k — вертикальный сдвиг
- Поворот: Для обычных поворотов вокруг начала координат:
- 90° против часовой стрелки: (x, y) → (-y, x)
- 180° против часовой стрелки: (x, y) → (-x, -y)
- 270° против часовой стрелки: (x, y) → (y, -x)