Натуральные числа и целые числа
1. Что такое натуральные числа?
Натуральные числа (также называемые счётными числами) — это самое основное множество чисел в математике. Это числа, которые мы используем для подсчёта предметов.
Формальное определение: Множество натуральных чисел обозначается символом $\mathbb{N}$ и определяется как: $$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \ldots\}$$
Примечание: Некоторые математики включают $0$ в натуральные числа, записывая $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$. В данном курсе мы будем считать, что натуральные числа начинаются с $1$, если не указано иное.
Основные свойства натуральных чисел:
| Свойство | Описание | Пример |
|---|---|---|
| Замкнутость относительно сложения | Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом | $3 + 5 = 8 \in \mathbb{N}$ |
| Замкнутость относительно умножения | Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом | $4 \times 7 = 28 \in \mathbb{N}$ |
| НЕ замкнуто относительно вычитания | Разность натуральных чисел может НЕ быть натуральным числом | $3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}$ |
| Вполне упорядоченное | Каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент | Наименьшее натуральное число — $1$ |
2. Что такое целые числа?
Целые числа расширяют натуральные числа, включая ноль и отрицательные целые числа. Это расширение было необходимо для решения уравнений вида $x + 5 = 3$.
Формальное определение: Множество целых чисел обозначается символом $\mathbb{Z}$ (от немецкого слова Zahlen, означающего «числа») и определяется как: $$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
Три подмножества целых чисел:
Отрицательные целые числа
$\mathbb{Z}^- = \{\ldots, -3, -2, -1\}$
Числа меньше нуля
Ноль
$\{0\}$
Ни положительное, ни отрицательное
Положительные целые числа
$\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \ldots\}$
Совпадают с натуральными числами
Свойства целых чисел:
| Свойство | Сложение | Умножение |
|---|---|---|
| Замкнутость | $a + b \in \mathbb{Z}$ | $a \times b \in \mathbb{Z}$ |
| Коммутативность | $a + b = b + a$ | $a \times b = b \times a$ |
| Ассоциативность | $(a+b)+c = a+(b+c)$ | $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ |
| Нейтральный элемент | $a + 0 = a$ | $a \times 1 = a$ |
| Обратный элемент | $a + (-a) = 0$ | Не всегда в $\mathbb{Z}$ |
| Дистрибутивность | $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ | |