Делимость сумм и произведений
Главная идея: Когда мы знаем, что определённые числа делятся на некоторое целое число, мы можем определить, делятся ли их суммы, разности и произведения на это число — даже не вычисляя самих значений!
📌 Основные определения
Делимость: Мы говорим, что целое число $a$ делится на целое число $d \neq 0$ (записывается $d \mid a$), если существует такое целое число $k$, что $a = d \cdot k$.
Например, $12$ делится на $3$, потому что $12 = 3 \cdot 4$.
🔑 Основные свойства
Свойство 1: Делимость суммы
Если каждое слагаемое в сумме делится на некоторое число $d$, то вся сумма делится на $d$.
Если $d \mid a$ и $d \mid b$, то $d \mid (a + b)$.
Набросок доказательства: Если $a = d \cdot k_1$ и $b = d \cdot k_2$, то:
$$ a + b = d \cdot k_1 + d \cdot k_2 = d(k_1 + k_2) $$Так как $k_1 + k_2$ — целое число, $d \mid (a+b)$. ✅
Свойство 2: Делимость разности
Если уменьшаемое и вычитаемое оба делятся на $d$, то разность делится на $d$.
Если $d \mid a$ и $d \mid b$, то $d \mid (a - b)$.
Набросок доказательства: Если $a = d \cdot k_1$ и $b = d \cdot k_2$, то:
$$ a - b = d \cdot k_1 - d \cdot k_2 = d(k_1 - k_2) $$Так как $k_1 - k_2$ — целое число, $d \mid (a-b)$. ✅