Рациональные числа: Полное руководство
📐 Что такое рациональное число?
Формальное определение: Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде частного (или дроби) двух целых чисел, записанного как $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q \neq 0$.
Слово «рациональное» происходит от латинского слова «ratio» (отношение) — потому что каждое рациональное число является отношением двух целых чисел.
Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$:
$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p, q \in \mathbb{Z},\; q \neq 0 \right\}$$
🔢 Какие числа являются рациональными?
✅ К рациональным числам относятся:
| Тип | Пример | В виде $\frac{p}{q}$ |
|---|---|---|
| Целые числа | $5$ | $\frac{5}{1}$ |
| Отрицательные целые числа | $-3$ | $\frac{-3}{1}$ |
| Ноль | $0$ | $\frac{0}{1}$ |
| Правильные дроби | $\frac{3}{4}$ | $\frac{3}{4}$ |
| Смешанные числа | $2\frac{1}{3}$ | $\frac{7}{3}$ |
| Конечные десятичные дроби | $0{,}75$ | $\frac{3}{4}$ |
| Периодические десятичные дроби | $0{,}\overline{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
❌ НЕ рациональные (иррациональные):
| Число | Почему нет? |
|---|---|
| $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356...$ | Непериодическая бесконечная дробь |
| $\pi \approx 3{,}14159265...$ | Непериодическая бесконечная дробь |
| $e \approx 2{,}71828...$ | Непериодическая бесконечная дробь |
| $\sqrt{3} \approx 1{,}73205...$ | Непериодическая бесконечная дробь |
Важно запомнить: Иррациональные числа имеют десятичные разложения, которые продолжаются бесконечно без какого-либо повторяющегося периода.