Действительные числа: Полная числовая прямая
Главная идея: Действительные числа включают каждое число, которое можно расположить на числовой прямой. Они составляют основу алгебры и всей высшей математики.
1. Иерархия числовых систем
Представь систему действительных чисел как серию вложенных множеств, каждое из которых содержит предыдущее:
| Множество | Обозначение | Определение | Примеры |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | $ \mathbb{N} $ | Числа для счёта | $ 1, 2, 3, 4, 5, \ldots $ |
| Целые неотрицательные числа | $ \mathbb{W} $ | Натуральные числа + ноль | $ 0, 1, 2, 3, 4, \ldots $ |
| Целые числа | $ \mathbb{Z} $ | Целые неотрицательные числа + отрицательные | $ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots $ |
| Рациональные числа | $ \mathbb{Q} $ | Числа, представимые в виде $ \frac{p}{q} $, где $ p, q \in \mathbb{Z} $ и $ q \neq 0 $ | $ \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 0.75, 0.\overline{3} $ |
| Иррациональные числа | $ \mathbb{Q'} $ или $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ | Числа, которые нельзя представить в виде дроби целых чисел | $ \sqrt{2}, \pi, e, \sqrt{5} $ |
| Действительные числа | $ \mathbb{R} $ | Все рациональные и иррациональные числа вместе | Каждая точка на числовой прямой |