Вычисление и оценка квадратных корней
1. Что такое квадратный корень?
Квадратный корень числа $n$ — это такое значение $x$, что $x^2 = n$. Мы записываем его как $\sqrt{n}$.
$\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$
$\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{25} = 5$, $\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{64} = 8$, $\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{100} = 10$, $\sqrt{121} = 11$, $\sqrt{144} = 12$
2. Теорема: Если $a > b > 0$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$
Эта теорема говорит нам, что функция квадратного корня сохраняет порядок для положительных чисел. Чем больше входное значение, тем больше результат.
Доказательство (от противного):
Допустим, $a > b > 0$. Мы хотим показать, что $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.
Шаг 1: Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, оба значения $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ существуют и положительны.
Шаг 2: Мы знаем, что $a - b > 0$. Разложим на множители:
$$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$$
Шаг 3: Поскольку $\sqrt{a} > 0$ и $\sqrt{b} > 0$, мы знаем, что $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) > 0$.
Шаг 4: Поскольку $a - b > 0$ и $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) > 0$, должно выполняться:
$$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} > 0$$
Шаг 5: Следовательно, $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$, а значит $\sqrt{a} > \sqrt{b}$. $\blacksquare$