Симметрические выражения через корни
🔑 Главная идея
Когда у нас есть квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $\alpha$ и $\beta$, мы можем вычислить множество выражений, содержащих эти корни, даже не находя сами корни! Это один из самых мощных приёмов в алгебре.
📐 Что такое симметрическое выражение?
Выражение $f(\alpha, \beta)$ называется симметрическим, если при перестановке $\alpha$ и $\beta$ оно не меняется:
$f(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha)$
| Выражение | Меняем $\alpha \leftrightarrow \beta$ | Симметрическое? |
|---|---|---|
| $\alpha + \beta$ | $\beta + \alpha$ ✓ То же самое! | ДА ✅ |
| $\alpha \cdot \beta$ | $\beta \cdot \alpha$ ✓ То же самое! | ДА ✅ |
| $\alpha^2 + \beta^2$ | $\beta^2 + \alpha^2$ ✓ То же самое! | ДА ✅ |
| $\alpha^2 - \beta^2$ | $\beta^2 - \alpha^2$ ✗ Противоположное! | НЕТ ❌ |
| $\alpha^3 + \beta^3$ | $\beta^3 + \alpha^3$ ✓ То же самое! | ДА ✅ |
| $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ | $\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}$ ✓ То же самое! | ДА ✅ |