Функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x^2}$ и их графики
Главная идея: Эти две функции принадлежат к особому семейству, называемому обратными функциями (функциями обратной пропорциональности). В отличие от линейных или квадратичных функций, они образуют кривые, называемые гиперболами, которые никогда не касаются осей координат. Их изучение открывает дверь к рациональным функциям — одному из самых мощных инструментов алгебры.
Функция 1: $y = \frac{1}{x}$
Определение
Для каждого значения $x$ (кроме $x = 0$) значение функции равно обратной величине числа $x$.
Основные свойства
- Область определения: Все действительные числа, кроме $x = 0$, т.е. $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
- Область значений: Все действительные числа, кроме $y = 0$, т.е. $y \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
- Асимптоты: Ось $x$ ($y = 0$) — горизонтальная асимптота; ось $y$ ($x = 0$) — вертикальная асимптота
- Симметрия: График обладает нечётной симметрией — он симметричен относительно начала координат (поворотная симметрия на 180°)
- Четверти: Кривая расположена в I и III четвертях
- Поведение: При $x \to +\infty$, $y \to 0^+$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$
Таблица значений
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-0{,}25$ | $-0{,}5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ |