Пропорциональные отрезки
Что такое пропорциональные отрезки?
Когда мы говорим, что отрезки пропорциональны, мы имеем в виду, что их длины имеют одинаковое соотношение. Пропорциональные отрезки лежат в основе подобия в геометрии и встречаются повсюду — от карт и чертежей в масштабе до архитектуры и искусства.
Формальное определение: Две пары отрезков являются пропорциональными, если отношение длин одной пары равно отношению длин другой пары. Если отрезки имеют длины $a$, $b$, $c$ и $d$, они пропорциональны, когда: $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$Это также записывается как $a : b = c : d$ и читается как «$a$ относится к $b$ как $c$ к $d$».
Основные свойства пропорций
1. Основное свойство пропорции (перекрёстное умножение)
Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:
$a \cdot d = b \cdot c$
Произведение средних членов равно произведению крайних членов пропорции.
2. Свойство перестановки (перемена средних членов)
Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
3. Свойство обращения
Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:
$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
4. Свойство сложения
Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:
$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$