Градусная мера дуги окружности
Что такое дуга окружности?
Дуга — это непрерывная часть окружности, то есть «изогнутый отрезок» между двумя точками на окружности.
Когда две точки $A$ и $B$ лежат на окружности, они делят её на две дуги:
- Малая дуга $\overset{\frown}{AB}$ — более короткая дуга (меньше полуокружности)
- Большая дуга $\overset{\frown}{ADB}$ — более длинная дуга (больше полуокружности)
- Полуокружность — ровно половина окружности ($180°$)
📐 Определение: Градусная мера дуги
Определение: Градусная мера дуги — это величина центрального угла, который опирается на эту дугу.
Если центральный угол $\angle AOB = \alpha°$, где $O$ — центр окружности, то:
$$\text{градусная мера } \overset{\frown}{AB} = \alpha°$$
Основные свойства:
| Свойство | Формула / Значение |
|---|---|
| Полная окружность | $360°$ |
| Полуокружность | $180°$ |
| Малая дуга | $0° < \overset{\frown}{AB} < 180°$ |
| Большая дуга | $180° < \overset{\frown}{ADB} < 360°$ |
| Большая дуга + Малая дуга | $\overset{\frown}{AB}_{\text{малая}} + \overset{\frown}{AB}_{\text{большая}} = 360°$ |
🔗 Связь: Центральный угол ↔ Дуга
Центральный угол и дуга, на которую он опирается, равны по градусной мере. Это основополагающий принцип:
Это означает, что если вы знаете центральный угол, вы сразу знаете градусную меру дуги, и наоборот.
Свойство сложения дуг:
Если точка $C$ лежит на дуге $\overset{\frown}{AB}$, то:
$$\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{AB}$$
Это аналогично свойству сложения отрезков — дуги можно «складывать», если они имеют общий конец и не перекрываются.