Теорема о вписанном угле
📐 Основные определения
- Центральный угол
- Угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны являются радиусами. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
- Вписанный угол
- Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.
- Дуга, на которую опирается угол
- Дуга, которая лежит внутри угла и имеет концы на его сторонах.
🌟 Теорема о вписанном угле
$$ \text{Вписанный угол} = \frac{1}{2} \times \text{Дуга, на которую он опирается} $$
Вписанный угол равен ровно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Иначе говоря, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Почему это работает? (Интуитивное объяснение)
Представьте центральный угол $\angle AOB$, где $O$ — центр окружности. Этот угол равен дуге $\overset{\frown}{AB}$. Теперь поместим точку $C$ на окружность. Вписанный угол $\angle ACB$ «видит» ту же дугу, но с большего расстояния — с окружности, а не из центра. Поскольку вершина находится на окружности, а не в центре, угол оказывается ровно вдвое меньше.
Это можно доказать с помощью равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Так как $OA = OC$ (оба — радиусы), треугольник $OAC$ является равнобедренным, и углы при основании равны. Применяя теорему о внешнем угле треугольника к полученным треугольникам, мы получаем множитель $\frac{1}{2}$.
Важные следствия
Следствие 1
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Если $\angle ACB$ и $\angle ADB$ опираются на $\overset{\frown}{AB}$, то $\angle ACB = \angle ADB$.