Описанная окружность
Определение
Описанная окружность многоугольника — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Центр этой окружности называется центром описанной окружности, а её радиус — радиусом описанной окружности (обозначается $R$).
Основные свойства
Для треугольников
- Вокруг любого треугольника можно описать ровно одну окружность.
- Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров ко всем трём сторонам.
- Центр описанной окружности равноудалён от всех трёх вершин.
- Для остроугольного треугольника: центр находится внутри треугольника.
- Для прямоугольного треугольника: центр находится в середине гипотенузы.
- Для тупоугольного треугольника: центр находится вне треугольника.
Важные формулы
Формула радиуса описанной окружности (через стороны и площадь)
Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и площадью $A$:
$$R = \frac{abc}{4A}$$
Радиус описанной окружности через теорему синусов
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
Для прямоугольного треугольника
Если длина гипотенузы равна $c$:
$$R = \frac{c}{2}$$