Туюнтмалар: Бөлчөктөрдү Бириктирүү, Бөлүү жана Ажыратуу
SAT Математика бөлүмүндө текшерилүүчү бардык бөлчөк амалдарын өздөштүрүңүз
1. Алгебралык Бөлчөктөрдүн Негиздери
Алгебралык Бөлчөк деген эмне?
Алгебралык бөлчөк (ошондой эле рационалдык туюнтма деп аталат) — бул алуучусунда, бөлүүчүсүндө же экөөсүндө тең өзгөрмөлөрдү камтыган бөлчөк.
Түзүлүшү:
$$\frac{a}{b} = a \div b$$- Алуучу $a$ — үстүңкү туюнтма
- Бөлүүчү $b$ — астыңкы туюнтма
- Эреже: $b \neq 0$ ар дайым!
Алгебралык бөлчөктөрдүн мисалдары:
| $\dfrac{x}{3}$ | Өзгөрмө алуучуда гана |
| $\dfrac{2x+1}{5}$ | Алуучуда туюнтма |
| $\dfrac{x^2-1}{x+3}$ | Экөөсүндө тең өзгөрмөлөр |
Аныктоо Чөйрөсүнүн Чектөөлөрү
| Туюнтма | Чектөө | Эмне үчүн? |
|---|---|---|
| $\dfrac{5}{x-3}$ | $x \neq 3$ | $x-3=0 \Rightarrow x=3$ |
| $\dfrac{1}{x^2-4}$ | $x \neq \pm 2$ | $(x-2)(x+2)=0$ |
| $\dfrac{x}{2x+1}$ | $x \neq -\frac{1}{2}$ | $2x+1=0$ |
Барабар Бөлчөктөр
Алуучу менен бөлүүчүнү бирдей нөлгө барабар эмес туюнтмага көбөйтүңүз же бөлүңүз:
$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)$$Мисал: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{3 \cdot x}{x \cdot x} = \dfrac{3x}{x^2}$
2. Бөлчөктөрдү Бириктирүү — Кошуу жана Кемитүү
2A. Бирдей Бөлүүчү (Жеңил Учур)
Эреже:
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$Бөлүүчүнү сактаңыз. Алуучуларды кошуңуз же кемитиңиз.
1-мисал: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x} = \dfrac{3+5}{x} = \dfrac{8}{x}$
2-мисал: $\dfrac{2x}{x+1} + \dfrac{3}{x+1} = \dfrac{2x+3}{x+1}$
Кемитүүдө Этият Болуңуз!
Терс белгини экинчи алуучунун БАРДЫК мүчөлөрүнө бөлүштүрүңүз:
$$\frac{5x-2}{x^2} - \frac{3x+1}{x^2} = \frac{(5x-2)-(3x+1)}{x^2}$$ $$= \frac{5x-2-3x-1}{x^2} = \frac{2x-3}{x^2}$$Кеңири тараган тузак: $-3x-1$ ордуна $-3x+1$ деп жазуу
2B. Ар Кандай Бөлүүчүлөр — ЭКБ Табуу
ЭКБ (Эң Кичине Жалпы Бөлүүчү) — бул БАРДЫК бөлүүчүлөргө бөлүнүүчү эң кичине туюнтма.
Кадамдар: ① Ар бир бөлүүчүнү көбөйтүүчүлөргө ажыратыңыз → ② Ар бир көбөйтүүчүнү эң жогорку даражасында камтыңыз → ③ Аларды бири-бирине көбөйтүңүз
$\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6}$
4 жана 6нын ЭКЭ:
- $4 = 2^2$
- $6 = 2 \cdot 3$
- ЭКБ $= 2^2 \cdot 3 = 12$
$= \dfrac{3x}{12} + \dfrac{2x}{12} = \dfrac{5x}{12}$
$\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x^2}$
Бөлүүчүлөр: $x$ жана $x^2$
- $x$тин эң жогорку даражасы $x^2$
- ЭКБ $= x^2$
$= \dfrac{3x}{x^2} + \dfrac{5}{x^2} = \dfrac{3x+5}{x^2}$
$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x-1}$
Жалпы көбөйтүүчүлөр жок:
- ЭКБ $= (x+1)(x-1)$
$= \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \dfrac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$= \dfrac{x-1+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{3x+1}{x^2-1}$
$\dfrac{1}{x^2-4} + \dfrac{1}{x+2}$
1-кадам: Ажыратуу: $x^2-4 = (x+2)(x-2)$
2-кадам: ЭКБ $= (x+2)(x-2)$
3-кадам: Которуу:
$$= \frac{1}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x-2)}{(x+2)(x-2)}$$4-кадам: Бириктирүү:
$$= \frac{1 + x - 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-1}{x^2-4}$$$\dfrac{3}{x-2} - \dfrac{2}{x+3} + \dfrac{1}{(x-2)(x+3)}$
ЭКБ $= (x-2)(x+3)$
$$= \frac{3(x+3) - 2(x-2) + 1}{(x-2)(x+3)}$$ $$= \frac{3x+9 - 2x+4 + 1}{(x-2)(x+3)}$$ $$= \frac{x+14}{(x-2)(x+3)}$$ЭКБ Чечим Кабыл Алуу Схемасы
Бүтүн Сан менен Бөлчөктү Кошуу
Бүтүн санды бирдей бөлүүчүлүү бөлчөккө которуңуз:
$$3 + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3x+2}{x}$$