Дискриминант
Квадраттык теңдемелерди чечпей эле ачкычын табуу
SAT Математика
Алгебра
Маанилүү тема
1. Киришүү — Дискриминант деген эмне?
Дискриминант — бул квадраттык теңдеменин коэффициенттеринен эсептелген өзгөчө маани. Ал теңдеменин канча чыныгы чечими бар экенин жана алар кандай түрдө экенин — теңдемени чечпей эле айтып берет.
Ал кайдан келип чыккан?
Ал түздөн-түз квадраттык формуладан келип чыгат. Бул тамыр белгисинин астындагы туюнтма:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\underbrace{b^2 - 4ac}_{\text{Дискриминант}}}}{2a}$$
Дискриминант эмне үчүн маанилүү?
- Канча чыныгы чечим бар экенин тез аныктайт
- Графиктин жүрүм-турумун көрсөтөт — парабола x огуна кандай мамиледе
- Чечүү талап кылынбайт — бир гана тез эсептөө жетиштүү
- SAT сүйүктүүсү — бир нече суроо түрлөрүндө кездешет
Белгиси: Көбүнчө $D$ же $\Delta$ (грек тамгасы Дельта) менен белгиленет.
Негизги идея
2. Аныктама жана формула
Дискриминанттын формуласы
$$\boxed{D = b^2 - 4ac}$$
$ax^2 + bx + c = 0$ квадраттык теңдемеси үчүн
Компоненттери:
| Белги | Мааниси | $3x^2 - 5x + 2 = 0$ мисалында |
|---|---|---|
| $a$ | $x^2$ нин коэффициенти | $a = 3$ |
| $b$ | $x$ тин коэффициенти | $b = -5$ |
| $c$ | Туруктуу мүчө | $c = 2$ |
Квадраттык формула менен байланышы:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\color{red}{b^2 - 4ac}}}{2a}$$
Дискриминант — бул тамыр белгисинин (радикалдын) астында турган $b^2 - 4ac$ туюнтмасы.
$b^2 - 4ac$ эмне үчүн маанилүү?
- Эгер ал оң болсо, тамыр белгиси чыныгы сан берет → $\pm$ белгисинен эки башка жооп чыгат
- Эгер ал нөлгө барабар болсо, тамыр белгиси 0 → $\pm$ мааниге ээ эмес → бир жооп
- Эгер ал терс болсо, чыныгы тамыр алуу мүмкүн эмес → чыныгы жооп жок
Маанилүү: $a$, $b$ жана $c$ ни аныктоодон мурун теңдеме $ax^2 + bx + c = 0$ стандарттык формада болушу керек. Ошондой эле, $a \neq 0$ (болбосо ал квадраттык эмес).