Аныкталбаган функциялар: SAT боюнча толук колдонмо
Функция аныкталбай калган бардык учурларды өздөштүрүңүз — SAT математикасынын маанилүү көндүмү
1. Киришүү: Аныкталган жана Аныкталбаган
$f(x)$ функциясы $x = a$ чекитинде аныкталган деп аталат, эгерде $f(a)$ реалдуу сан натыйжа берсе. Функция $x = a$ чекитинде аныкталбаган деп аталат, эгерде $f(a)$ реалдуу сан бербесе.
✅ Аныкталган
$f(x) = \frac{1}{x-3}$ функциясы $x = 5$ чекитинде:
$f(5) = \frac{1}{5-3} = \frac{1}{2}$ — реалдуу сан ✓
❌ Аныкталбаган
$f(x) = \frac{1}{x-3}$ функциясы $x = 3$ чекитинде:
$f(3) = \frac{1}{3-3} = \frac{1}{0}$ — нөлгө бөлүү ✗
Эмне үчүн функциялар аныкталбай калат?
Кээ бир математикалык амалдардын ички чектөөлөрү бар:
| Амал | Аныкталбаган учур | Себеби |
|---|---|---|
| $\frac{a}{b}$ | $b = 0$ | Нөлгө бөлүү мүмкүн эмес |
| $\sqrt{a}$ (жуп тамыр) | $a < 0$ | Терс сандын реалдуу квадрат тамыры жок |
| $\frac{1}{\sqrt{a}}$ | $a \leq 0$ | Тамыр астында терс сан ЖЕ бөлүмдө нөл |
| $\log(a)$ же $\ln(a)$ | $a \leq 0$ | Нөлдүн же терс сандын логарифми аныкталбаган |
2. Нөлгө бөлүү
Эмне үчүн $\frac{a}{0}$ аныкталбаган?
Эгерде $\frac{5}{0} = ?$ болсо, анда $? \times 0 = 5$ болушу керек. Бирок каалаган санды нөлгө көбөйтсөк нөл болот, эч качан 5 болбойт. Демек, жооп жок. Бул чексиздик эмес, нөл эмес — бул жөн гана аныкталбаган.
🔑 Негизги эреже: Бөлчөктөрдөгү аныкталбаган маанилерди табуу
Бөлүмдү нөлгө теңештириңиз → $x$ үчүн чечиңиз → Ошол $x$-маанилери функцияны аныкталбаган кылат.
Мисалдарды талдоо
Мисал А: $f(x) = \frac{1}{x - 3}$
1-кадам: Бөлүмдү = 0 деп коюңуз:
$x - 3 = 0$
2-кадам: Чечиңиз:
$x = 3$
Натыйжа: $f(x)$ функциясы $x = 3$ чекитинде аныкталбаган
Мисал Б: $f(x) = \frac{5}{2x + 8}$
1-кадам: Бөлүмдү = 0 деп коюңуз:
$2x + 8 = 0$
2-кадам: Чечиңиз:
$2x = -8 \Rightarrow x = -4$
Натыйжа: $x = -4$ чекитинде аныкталбаган
Көбөйтүндүгө ажыратылган бөлүмдөр
$f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$
Көбөйтүндүгө ажыратуу: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
Ар бир көбөйтүндүнү = 0 деп коюңуз:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
$x = 3$ жана $x = -3$ чекиттеринде аныкталбаган
$f(x) = \frac{x-2}{x^2 - 5x + 6}$
Көбөйтүндүгө ажыратуу: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
Ар бир көбөйтүндүнү = 0 деп коюңуз:
$x = 2$ же $x = 3$
$x = 2$ ЖАНА $x = 3$ чекиттеринде аныкталбаган
⚠️ $x = 2$ алуучу менен кыскарса да, баштапкы функция ал жерде дагы эле аныкталбаган!
⚠️ SAT тузагы: Алуучунун мааниси жок!
$f(x) = \frac{x-2}{x-2}$ функциясын карап көрөлү. $x = 2$ чекитинде: $f(2) = \frac{0}{0}$, бул аныкталбаган (аныкталбагандын өзгөчө түрү). Бул 1ге "жөнөкөйлөштүрүлсө" да, баштапкы функция $x = 2$ чекитинде аныкталбаган. Графикте $x = 2$ чекитинде тешик бар.