1. Геометриялык прогрессияны кайталоо
Аныктама
Геометриялык прогрессия (ГП) — бул $b_1, b_2, b_3, \ldots$ ырааттуулук, мында ар бир мүчө мурунку мүчөнү жалпы бөлүк деп аталган туруктуу нөлдөн айырмаланган $q$ санга көбөйтүү аркылуу алынат:
$$b_{n+1} = b_n \cdot q \quad \text{бардык натурал } n \text{ үчүн}, \quad b_n \neq 0, \quad q \neq 0$$
Негизги формулалар
| Формула | Туюнтма | Шарт |
|---|---|---|
| $n$-чи мүчө | $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$ | $n \geq 1$ |
| Алгачкы $n$ мүчөнүн суммасы | $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$ | $q \neq 1$ |
Мисалдар
А мисалы: $1,\; 3,\; 9,\; 27,\; \ldots$ мында $q = 3$
Мүчөлөр чексиз өсөт.
Мүчөлөр чексиз өсөт.
Б мисалы: $1,\; \frac{1}{5},\; \frac{1}{25},\; \frac{1}{125},\; \ldots$ мында $q = \frac{1}{5}$
Мүчөлөр нөлгө жакындайт.
Мүчөлөр нөлгө жакындайт.
2. Чексиз кемүүчү геометриялык прогрессиянын аныктамасы
Негизги аныктама
Геометриялык прогрессия чексиз кемүүчү деп аталат, эгерде анын жалпы бөлүгүнүн абсолюттук мааниси бирден кичине болсо:
$$|q| < 1$$
$n$ чоңойгон сайын, $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ мүчөлөрү нөлгө жакындайт, анткени $|q|^{n-1} \to 0$.
$q = \frac{1}{2}$ ✓
$|q| = 0.5 < 1$
$|q| = 0.5 < 1$
$q = -\frac{1}{3}$ ✓
$|q| = \frac{1}{3} < 1$
$|q| = \frac{1}{3} < 1$
$q = 0.1$ ✓
$|q| = 0.1 < 1$
$|q| = 0.1 < 1$
Интерактивдүү: $|q| < 1$ болгондо ГП мүчөлөрү нөлгө кантип жакындаарын байкаңыз
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
$q$ жана $b_1$ маанилерин өзгөртүү үчүн сыдырмаларды жылдырыңыз. $|q| < 1$ болгондо мүчөлөр нөлгө кантип жакындаарын байкаңыз.