📐 Логарифмдик функция, анын касиеттери жана графиги
10-класс Алгебра — Толук интерактивдүү сабак
1. Логарифмдик функциянын аныктамасы
Аныктама
Логарифмдик функция — бул төмөнкү түрдөгү функция:
$$y = \log_a x$$
мында $a$ — негиз деп аталган белгиленген оң сан, $a > 0$ жана $a \neq 1$, ал эми $x$ — көз карандысыз өзгөрмө.
Логарифмдик функциялардын мисалдары:
негизи $a = 3$
негизи $a = \tfrac{1}{2}$
негизи $a = 10$
негизи $a = e \approx 2.718$
2. $y = \log_a x$ функциясынын касиеттери
1-касиет: Аныктоо областы
$y = \log_a x$ функциясынын аныктоо областы — бардык оң реалдуу сандар: $\mathcal{D}(f) = (0, +\infty)$.
- $\log_a x$ $x > 0$ болгондо гана мааниге ээ.
- $y$ огу ($x = 0$ түз сызыгы) — вертикалдуу асимптота.
- Аныктоо областы нөлдү жана терс сандарды камтыбайт.
2-касиет: Маанилер областы
$y = \log_a x$ функциясынын маанилер областы — бардык реалдуу сандар: $\mathcal{R}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.
Далилдөө: Каалаган реалдуу сан $b$ үчүн $x = a^b$ оң саны бар, ошондуктан $\log_a(a^b) = b$. Демек, ар бир реалдуу сан $b$ функциянын мааниси катары жетишилет. $\square$
3-касиет: Чектелбегендик
Логарифмдик функция чектелбеген — ал каалагандай чоң оң жана каалагандай чоң терс маанилерди кабыл алат.
Бул 2-касиеттен түздөн-түз келип чыгат: маанилер областы бүт $\mathbb{R}$ болгондуктан, эч кандай чектүү чек бардык функция маанилерин камтый албайт.
4-касиет: Монотондуулук
Эгерде $a > 1$ болсо:
$y = \log_a x$ $(0, +\infty)$ аралыгында катуу өсүүчү.
Далилдөө: $0 < x_1 < x_2$ болсун. Анда $a^{\log_a x_1} < a^{\log_a x_2}$ ($x_1 < x_2$ болгондуктан). $a > 1$ болгондуктан, $a^t$ даражалык функция өсүүчү, демек даражалар $\log_a x_1 < \log_a x_2$ шартын канааттандырышы керек. $\square$
Эгерде $0 < a < 1$ болсо:
$y = \log_a x$ $(0, +\infty)$ аралыгында катуу кемүүчү.
Далилдөө: $0 < x_1 < x_2$ болсун. Анда $a^{\log_a x_1} < a^{\log_a x_2}$. $0 < a < 1$ болгондуктан, $a^t$ даражалык функция кемүүчү, ошондуктан даражалардын теңсиздиги тескери болот: $\log_a x_1 > \log_a x_2$. $\square$
5-касиет: Функция маанилеринин белгиси
$a > 1$ болгондо:
- $x > 1$ болгондо $\log_a x > 0$
- $0 < x < 1$ болгондо $\log_a x < 0$
- $\log_a x = 0$ болгону $x = 1$ болгондо гана
$0 < a < 1$ болгондо:
- $0 < x < 1$ болгондо $\log_a x > 0$
- $x > 1$ болгондо $\log_a x < 0$
- $\log_a x = 0$ болгону $x = 1$ болгондо гана