Жарым бурчтун синусу, косинусу жана тангенси
🎯 Негизги идея
Жарым бурч формулалары белгилүү бурчтун жарымы болгон бурчтардын тригонометриялык функцияларынын так маанилерин табууга мүмкүнчүлүк берет. Мисалы, эгер биз $60°$ үчүн тригонометриялык маанилерди билсек, $30°$ үчүн так маанилерди таба алабыз. Андан да маанилүүсү, биз бирдик чөйрөдө стандарттуу эмес бурчтар болгон $22.5°$ ($45°$нын жарымы) же $15°$ ($30°$нын жарымы) сыяктуу бурчтар үчүн так маанилерди таба алабыз.
📐 Жарым бурч формулаларын чыгаруу
Биз косинустун эки эселенген бурч формуласынан баштайбыз:
Эми $\theta = 2\alpha$ деп алалы, демек $\alpha = \frac{\theta}{2}$. Алмаштырсак:
Баштапкы: $\cos\theta = 1 - 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$
$2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos\theta$
$\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}$
$$\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$$
Баштапкы: $\cos\theta = 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) - 1$
$2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos\theta$
$\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2}$
$$\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$$
$\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ болгондуктан, биз алабыз:
$$\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$$
Ошондой эле эки абдан пайдалуу белгисиз альтернативдүү формалар бар:
Бул формалар алуучу жана бөлүүчүнү тиешелүү конъюгаттарга көбөйтүп жана $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ тождествосун колдонуу менен чыгарылат.