Экспоненциалдык функция, анын касиеттери жана графиги
10-класс Алгебра — Толук интерактивдүү сабак
§1. Реалдык көрсөткүчтүү даражалардын негизги касиеттерин кайталоо
Экспоненциалдык функцияны изилдөөдөн мурун, даражалардын негизги касиеттерин эстейли. $a > 0$, $b > 0$ жана каалаган реалдык сандар $x_1$, $x_2$ үчүн:
| # | Касиет | Формула | Аталышы |
|---|---|---|---|
| 1 | Бирдей негиздүү даражалардын көбөйтүндүсү | $$a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}$$ | Көбөйтүндү эрежеси |
| 2 | Бирдей негиздүү даражалардын бөлүндүсү | $$\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}$$ | Бөлүндү эрежеси |
| 3 | Даражанын даражасы | $$(a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 \cdot x_2}$$ | Даража эрежеси |
| 4 | Көбөйтүндүнүн даражасы | $$(a \cdot b)^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$$ | Негиздердин көбөйтүндүсү |
| 5 | Бөлчөктүн даражасы | $$\left(\frac{a}{b}\right)^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$$ | Негиздердин бөлүндүсү |
⚡ Маанилүү тартиптөө касиеттери
- (6) $a^{x} > 0$ бардык $x \in \mathbb{R}$ үчүн — даражалар ар дайым оң
- (7) $a^{x} > 1$ эгерде $a > 1$ жана $x > 0$ болсо
- (8) Эгерде $a > 1$ жана $x_1 < x_2$ болсо, анда $a^{x_1} < a^{x_2}$ өсүүчү
- (9) Эгерде $0 < a < 1$ жана $x_1 < x_2$ болсо, анда $a^{x_1} > a^{x_2}$ кемүүчү
§2. Экспоненциалдык функциянын аныктамасы
📌 Аныктама
$y = a^x$ түрүндөгү функция, мында $a$ — белгиленген оң сан жана $a \neq 1$, $a$ негизи менен экспоненциалдык функция деп аталат.
Негизги пункттар:
- Негиз $a$ — белгиленген оң сан, $a \neq 1$
- Өзгөрмө $x$ көрсөткүчтө турат
- Экспоненциалдык функциянын аргументи — көрсөткүч
- Негиз — белгиленген сан, өзгөрмө эмес
Экспоненциалдык функциялардын мисалдары:
- $y = 2^x$ — негиз $a = 2 > 1$
- $y = 10^x$ — негиз $a = 10 > 1$
- $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ — негиз $a = \tfrac{1}{2}$, мында $0 < a < 1$
- $y = 0.1^x$ — негиз $a = 0.1$, мында $0 < a < 1$
⚠️ Эмне үчүн $a = 1$ алынып салынат? Эгерде $a = 1$ болсо, анда $y = 1^x = 1$ бардык $x$ үчүн. Бул жөн гана $y = 1$ туруктуу функция, ал экспоненциалдык функция катары кызыктуу эмес.