Реалдык көрсөткүчтүү даража
10-класс · Алгебра
1. Аныктаманы иррационалдык көрсөткүчтөргө кеңейтүү
Сиз $r$ рационалдык сан ($\frac{p}{q}$ бөлчөк) болгондо $a^r$ маанисин эсептөөнү билесиз. Бирок $x$ иррационалдык сан болгондо, мисалы $\sqrt{2}$ же $\pi$ болгондо, $a^x$ эмнени билдирет?
Негизги идея: Ар бир иррационалдык санды рационалдык сандардын ырааттуулугу менен жакындатууга болот. Биз бул жакындатууларды даражаны аныктоо үчүн колдонобуз.
Мисал: $3^{\sqrt{2}}$ маанисин аныктоо
$\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ саны иррационалдык. Рационалдык жакындатууларды түзөбүз:
| $n$-кадам | Рационалдык жакындатуу $r_n$ | $3^{r_n}$ |
|---|---|---|
| 1 | 1.4 | $3^{1.4} \approx 4.6555$ |
| 2 | 1.41 | $3^{1.41} \approx 4.7070$ |
| 3 | 1.414 | $3^{1.414} \approx 4.7277$ |
| 4 | 1.4142 | $3^{1.4142} \approx 4.7287$ |
| 5 | 1.41421 | $3^{1.41421} \approx 4.7288$ |
Аныктама: $$a^x = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$$ мында $r_1, r_2, r_3, \ldots$ — $x$ санына жакындаган рационалдык сандар.
Демек, $3^{\sqrt{2}} \approx 4.7288\ldots$ — так аныкталган оң реалдык сан.
Интерактивдик: $3^{r_n}$ маанисинин $3^{\sqrt{2}}$ санына жакындашын байкаңыз
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
2. Жалпы аныктама
Аныктама: Каалаган реалдык $x$ саны жана каалаган $a > 0$ үчүн, $a^x$ даражасы оң реалдык сан болот.
$$a > 0 \implies a^x > 0 \quad \text{бардык } x \in \mathbb{R} \text{ үчүн}$$
Өзгөчө учур: $a = 0$
| Шарт | Мааниси | Мисал |
|---|---|---|
| $x > 0$ | $0^x = 0$ ✅ | $0^5 = 0$, $0^{\sqrt{3}} = 0$ |
| $x = 0$ | $0^0$ аныкталган эмес ❌ | — |
| $x < 0$ | $0^x$ аныкталган эмес ❌ | $0^{-1}$, $0^{-\sqrt{2}}$ мааниге ээ эмес |
⚠ Эмне үчүн $0^{-1}$ аныкталган эмес?
$0^{-1} = \frac{1}{0^1} = \frac{1}{0}$, бул нөлгө бөлүү — аныкталган эмес!
⚠ Эмне үчүн $0^{-\sqrt{2}}$ аныкталган эмес?
$0^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{0^{\sqrt{2}}} = \frac{1}{0}$ — дагы нөлгө бөлүү.
Эстеңиз: $x \leq 0$ болгондо, $0^x$ туюнтмасы мааниге ээ эмес.