Умножение вектора на скаляр
Главная идея:
Когда мы умножаем вектор на скаляр (обычное число), мы растягиваем, сжимаем или разворачиваем вектор — но никогда не меняем его направление (если только не переворачиваем его на противоположное).
📐 Формальное определение
Пусть $\vec{a}$ — вектор, а $k$ — скаляр (действительное число). Произведение скаляра на вектор $k\vec{a}$ — это вектор, такой что:
- Длина (модуль): $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
- Направление:
- Совпадает с $\vec{a}$, если $k > 0$
- Противоположно $\vec{a}$, если $k < 0$
- Нулевой вектор $\vec{0}$, если $k = 0$
В координатной форме, если $\vec{a} = (a_x,\, a_y)$, то:
$$k\vec{a} = (k \cdot a_x,\, k \cdot a_y)$$
📏 Основные свойства
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Ассоциативность | $m(n\vec{a}) = (mn)\vec{a}$ |
| Дистрибутивность (скаляр) | $(m + n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a}$ |
| Дистрибутивность (вектор) | $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ |
| Умножение на единицу | $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ |
| Умножение на ноль | $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ |
| Умножение на −1 | $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ |