Понятие движения плоскости (преобразования)
Главная идея: Движение плоскости (также называемое жёстким преобразованием или изометрией) — это перемещение каждой точки плоскости, которое сохраняет расстояния и углы. Форма и размер фигур остаются неизменными — меняется только их положение или ориентация.
Формальное определение
Движение плоскости — это отображение $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ такое, что для любой пары точек $A$ и $B$:
$$d\big(T(A),\, T(B)\big) = d(A, B)$$
Это означает, что расстояние между любыми двумя точками одинаково до и после преобразования. Поскольку расстояния сохраняются, также сохраняются:
- Длины отрезков — стороны фигуры сохраняют свою длину
- Величины углов — углы остаются прежними
- Параллельность — параллельные прямые остаются параллельными
- Площадь — область, ограниченная фигурой, не уменьшается и не увеличивается