Обратная функция к степенной функции с натуральным показателем
Изучаем корень $n$-й степени как обратную функцию к $f(x) = x^n$
1. Отправная точка — Степенная функция
Начнём со степенной функции с натуральным показателем $n$:
Напомним, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она является взаимно однозначной (инъективной). Обратимость $f(x) = x^n$ зависит от того, является ли $n$ нечётным или чётным.
Нечётное $n$ (например, $n = 1, 3, 5, 7, \ldots$)
$f(x) = x^n$ является строго возрастающей на всём $\mathbb{R}$, поэтому она взаимно однозначна и, следовательно, обратима на $\mathbb{R}$.
Её обратная функция:
$g(x) = \sqrt[n]{x}$
называется корнем $n$-й степени из $x$.
Чётное $n$ (например, $n = 2, 4, 6, \ldots$)
$f(x) = x^n$ не является взаимно однозначной на $\mathbb{R}$ (например, $(-2)^2 = 2^2 = 4$). Необходимо ограничить область определения до $[0, +\infty)$, чтобы сделать её обратимой.
Её обратная функция (на $[0, +\infty)$):
$g(x) = \sqrt[n]{x}, \quad x \geq 0$