Описанная окружность правильного многоугольника
Что такое описанная окружность?
Описанная окружность правильного многоугольника — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Центр этой окружности называется центром описанной окружности, а её радиус называется радиусом описанной окружности и обозначается $R$.
Ключевая идея: У каждого правильного многоугольника существует ровно одна описанная окружность. Это объясняется тем, что все вершины правильного многоугольника равноудалены от его центра — и это общее расстояние и есть радиус описанной окружности $R$.
Формальное определение
Дан правильный многоугольник с $n$ сторонами, каждая длиной $a$:
- Центральный угол: Угол, образованный в центре одной стороной, равен $\theta = \dfrac{360°}{n} = \dfrac{2\pi}{n}$
- Формула радиуса описанной окружности: $$R = \frac{a}{2 \sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$
- Апофема (радиус вписанной окружности): Расстояние от центра до середины стороны: $$r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a}{2 \tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$